Pierre De Fermat (1601-1665)
Fermat 17 Ağustos 1601 yılında
Fransa 'nın Beaumont-de-Lomagne kentinde doğmuştur. Babası zengin bir deri
tüccarı ve Beaumont-de-Lomagne 'de ikinci konsolostu. Fermat 'ın bir erkek
kardeşi ve iki kız kardeşi vardı ve doğmuş olduğu bu kentte büyümüştü. Buna
karşın yerel Fransiscan Manastırına gittiğine dair çok az kanıt vardır.
1920 'lerin ikinci yarısında, Bordeaux 'ya gitmeden önce Toulouse
Üniversitesinde eğitim görmüştür. Bordeaux 'da ilk ciddi matematiksel
araştırmalarına başlamış ve 1629 'da orada bulunan bir matematikçiye Apollonius
'un Plane loci adlı eserinin, kendisinin düzenlemiş olduğu bir kopyasını
sunmuştur. Bordeaux 'da Beaugrand ile tanışmış ve bu sırada matematiğe olan
ilgisini Fermat ile paylaşan Etienne d'Espagnet 'e sunmuş olduğu "maximum ve
minimum" üzerindeki önemli çalışmalarını üretmiştir.
Bordeaux 'dan, üniversitede hukuk eğitimi aldığı Orléans 'a gitmiştir.
Medeni hukuk alanında derece almış ve Toulouse parlâmentosunda meclis üyesi olma
hakkını kazanmıştır. Böylece Fermat 1631 yılından itibaren artık bir hukukçu ve
Toulouse 'da bir devlet memuru olmuştur ve sahip olduğu bu işinden dolayı, ona
Pierre Fermat olan adını Pierre de Fermat olarak değiştirme yetkisi
verilmiştir..
Fermat hayatının geri kalan kısmını Toulouse 'da geçirdi, ancak orada
çalıştığı kadar doğduğu yer olan Beaumont-de-Lomagne 'da ve Castres yakınlarında
bir kasabada da çalıştı. 14 Mayıs 1631 'deki atamasından itibaren parlâmentonun
düşük meclisinde çalışmış ancak 16 Ocak 1638 'de daha yüksek bir meclise atanmış
ve 1652 'de ceza mahkemesinin en yüksek makamına terfi ettirilmiştir. Meslek
yaşamında elde edebileceği daha yüksek terfiler de vardı ancak terfiler
çoğunlukla yaşça daha kıdemliler tarafından veriliyordu ve 1650 'lerin
başlarında veba bu bölgeyi fena vurmuş ve bu kıdemlilerin çoğu ölmüştü. Fermat
'ın kendisi de vebaya yakalandı ve 1653 'de öldü.
Tabi ki Fermat Matematikle de meşgul olmuştu. Toulouse 'ya gittikten
sonra da Beaugrand ile matematik arkadaşlığını sürdürmüştür ancak burada yeni
bir matematik arkadaşı daha kazanmıştır, o da Carcavi 'dir. Carcavi de Fermat
gibi bir meclis üyesidir, ancak onları yakınlaştıran ve aralarında paylaştıkları
şey matematik olmuştur. Fermat Cercavi 'ye matematik üzerine olan buluşlarını
anlatmıştır.
1636 'da Cercavi işi dolayısıyla Paris 'e gitti ve Mersenne ve
grubuyla temasa geçti. Carcavi 'nin, Fermat 'ın düşen nesneler ile ilgili olarak
buldukları ile ilgili açıklamaları Mersenne 'in büyük ilgisini çekti ve Fermat
'a bir mektup yazdı. Fermat 26 Nisan 1636 'da bu mektubu cevapladı ve Mersenne
'e bazı hataları belirtmenin yanı sıra spiraller üzerindeki çalışmalarını ve
Apollonius 'un Plane loci adlı eserindeki düzenlemeleriyle ilgili
açıklamaları da yazdı. Fermat 'ın spiraller üzerindeki çalışmaları, serbest
düşmede nesnenin izlediği yolun hesaba katılmasıyla motive edilmiş oldu ve
Archimedes 'in spirallerin altında kalan alanı hesaplamaya yönelik
çalışmalarının genelleştirilmiş hallerinin metodlarını kullandı.
Bu ilk mektupta aynı zamanda Fermat 'ın Mersenne 'den, Paris
matematikçilerine vermesini istediği iki tane maximum problemi de vardı. Bu
Fermat 'ın mektuplarının tipik bir özelliğiydi, kendisinin daha önceden bulmuş
olduğu bir sonucu, başkalarının da bulmasını sağlamak için onlara meydan
okuyacaktı....
Roberval ve Mersenne Fermat 'ın
bu ilk mektubunu ve diğerlerini gerçekten oldukça zorlayıcı buldular ve
genellikle bilinen tekniklerle çözülemeyeceğini gördüler. Bunun üzerine Fermat
'tan kullandığı metotlarını açıklamasını istediler ve Fermat Paris 'teki
matematikçilere "bir eğrinin , maximum, minimum ve teğetlerini belirleme
metotları" 'nı, kendisinin yeniden düzenlemiş olduğu Apollonius 'un Plane
loci adlı eserini ve yine kendisinin geometriye cebirsel yaklaşım -Introduction
to Plane and Solid Loci yazılarını gönderdi.
Fermat, önemli matematikçiler arasında olma ününü çabuk yakalamıştı,
ancak çalışmalarını yayınlama girişimi çoğu zaman başarısızlıkla sonuçlandı,
çünkü Fermat hiç bir zaman çalışmalarının kusursuz bir forma sokulup tamamen
bitirilmiş bir hale gelmesini istememişti. Yine de bazı metotları yayınlanmıştı,
örneğin; Hérigone, en önemli çalışmalarından biri olan Cursus mathematicus
adlı eserine Fermat 'ın maximum ve minimum metotlarını eklemişti. Fermat ve
diğer matematikçiler arasında giderek gelişen bu mektuplaşmalar malesef evrensel
bir övgü bulamamıştır. Frenicle de Bessy, çözülmesini imkansız bulduğu Fermat
'ın problemlerine karşı büyük bir kızgınlık duymuş ve bunun üzerine Fermat 'a
sert bir mektup yazmıştır. Fermat 'ın bu mektuba detaylı bir açıklama vermesine
karşılık yine de Frenicle de Bessy, Fermat 'ın kendisini aldattığını
düşünmüştür.
1643 - 1654 yılları arasındaki dönem Fermat 'ın Paris 'teki
meslektaşlarıyla ilişkilerinin zayıfladığı dönemlerdendi. Tabi bunun bazı
sebepleri vardı. Birincisi, Fermat 'ın işlerinin yoğunluğunun onun matematiğe
fazla zaman ayırmasını engellemesiydi. İkincisi ise 1648 yılından itibaren
Toulouse 'u ciddi bir biçimde etkileyen Fransa 'daki sivil savaştı ve sonuncusu
ise Toulouse 'daki hayatta ve tabii ki Fermat 'ın hayatında ölümcül izler
bırakan 1651 vebası. Buna rağmen yine de Fermat bu dönemde sayılar teorisi
üzerinde çalışmıştı.
Fermat çoğunlukla sayılar teorisi üzerindeki çalışmalarıyla,
özellikle Fermat 'ın son teoremi (Fermat 's Last Theorem ) ile bilinir.
Bu teorem şu şekildedir;
n>2 için xn + yn = zn eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı x, y ve z tamsayıları yoktur.
Fermat, Diophantus
'un Arithmetica adlı eserinin Bachet tarafından yapılan çevirisinin
kenarına şunları yazdı; " Gerçekten de kaydadeğer bir ispat buldum ancak bunu
kitabın kenarına sığdırmam mümkün değil". Bu köşe notu ancak Fermat 'ın oğlu
Samuel 'in 1670 yılında Diophantus 'un Arithmetica'sının Bachet
çevirisinin babasının notlarını da içeren yeni bir baskısını yayınlamasından
sonra bilinmeye başlandı.
Bugün kesin olmamakla birlikte Fermat 'ın bu ispatının yanlış olduğuna
inanılmaktadır. Fermat 'ın bu iddiası 1993 Haziranında İngiliz matematikçi
Andrew Wiles tarafından ispatlandı, ancak Wiles bir süre sonra bazı problemler
ortaya çıkınca, ispatını bulduğuna dair iddiasını geri aldı. 1994 Kasımında ise
tekrar ,şu an bilinen, ispatı bulduğunu açıkladı.
Fermat 'ın Paris 'li matematikçilerle mektuplaşması 1654 yılında
Etienne Pascal 'ın oğlu Blaise Pascal 'ın, Fermat 'tan "olasılık"
hakkındaki fikirlerini açıklamasını rica eden bir mektup yazmasıyla tekrar
başladı. Aralarındaki kısa mektuplaşma "olasılık teorisi" ni ortaya
çıkardı ve bu sebeple bugün bu teoriye, bu iki matematikçinin ortaklaşa teorisi
olarak bakılmaktadır. Durum her ne kadar böyle olsa da Fermat, konuyu "olasılık"
tan "sayılar teorisi" ne çevirmeye çalıştı. Pascal bununla hiç
ilgilenmedi ancak Fermat bunu farketmeden Carcavi 'ye şunları yazdı;
Dahiliklerine
gerçekten büyük saygı duyduğum Bay Pascal 'a fikirlerimi açıkladığım için çok
büyük mutluluk duyuyorum. İkiniz de bu baskının sorumluluğunu üstlenebilirsiniz,
kısa açıklamalar ve eklemler yapabilirsiniz. İşlerim çok yoğun olduğundan dolayı
üzerimden büyük bir yük almış olursunuz.
ancak Pascal Fermat 'ın bu
çalışmalarını yine de yayınlamıyacaktı. Bunun üzerine Fermat çalışmalarının
yayınlanması ile ilgili bu ani fikrinden yine vazgeçti. Fermat zor
problemleriyle her zamankinden daha da ileri giderek;
Fransız, İngiliz, Hollanda 'lı ve hiçbir Avrupalı matematikçi
tarafından çözülemeyen iki problem Bay Fermat tarafından ortaya atılmıştır..
Şeklinde bir açıklama yaptı. Fermat 'ın problemleri bir çok
matematikçinin Sayılar Teorisi ni önemli bir konu olarak düşünmesinden
dolayı fazla ilgi görmedi. Ancak Bu problemlerden ikincisi (N bir kare değil
iken Nx2 + 1 = y2 ifadesinin tüm çözümlerini bulunuz,
şeklinde olan problem) Wallis ve Brouncker tarafından çözüldü ve bu çözüm
sırasında continued fraction konusu daha da geliştirilmiş oldu. Frenicle
de Bessy belki de Sayılar Teorisi 'ne ilgi gösteren tek matematikçiydi,
ancak ne var ki o da Fermat 'a bu konuda destek olacak kadar bir matematik
yeteneğine sahip değildi.
Fermat, "iki küp 'ün toplamı bir küp olamaz" adında başka
problemler de ortaya atmıştı. ( Bu, Fermat 'ın Son Teoremi olarak bilinen
teoremin özel bir halidir. Bu da Fermat 'ın genel kural için bulmuş olduğu
ispatın yanlış olduğunun farkına vardığını gösteriyor.) Bu problemler şu
şekildeydi: x2 + 4 = y3 ifadesinin iki, x2 + 2
= y3 ifadesinin ise tek tamsayı çözümü vardır.
1656 yılında Fermat Huygens ile mektuplaşmaya başladı. Bu
mektuplaşmalar zamanla Fermat 'ın sayesinde Sayılar Teorisi 'ne doğru
yönlenmeye başladı. Bu Huygens 'in ilgisini çekmiyordu ancak Fermat bu konuda
ısrarlıydı ve 1659 yılında Carcavi vasıtasıyla Huygens 'e "New Account of
Discoveries in the Science of Numbers" adlı eseri yolladı ve daha önce
yapmadığı kadar çok metodunu ortaya koydu.
Fermat, sonsuz iniş 'in metotlarını açıkladı ve bunu 4k+1 formundaki
asal sayıların iki kare toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlamada kullandı.
Farz edelim ki 4k+1 formundaki bir asal sayı iki kare toplamı olarak
yazılamasın, öyleyse 4k+1 formunda iki kare toplamı olarak yazılamayan daha
küçük bir sayı vardır. Fermat 'ın bu mektupta açıklayamadığı ise küçük sayının
daha büyük olan sayıdan nasıl üretileceğidir. Bir varsayım Fermat 'ın bu adımı
nasıl gerçekleştireceğini bilmediğini söylemektedir, ancak şu bir gerçektir ki
Fermat 'ın metodunu açıklamada düşmüş olduğu bu çıkmaz, matematikçilerin
ilgisini konu üzerinde yitirmesine neden olmuştur. Ve bu Euler 'in bu konudaki
problemleri tekrar ele alıp bu boşlukları doldurmasına dek sürmüştür.